Логические связки: определение

Логические связки – специальные логические символы, используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных. Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка. Иногда логические связки также называют пропозициональными связками (от лат. proposition – предложение, суждение, высказывание).

Логика стоиков

Первая теория логических связок была разработана в рамках стоицизма. Основной единицей стоической логики является не термин (понятие), как у Аристотеля, а «высказанное» (λεϰτόν).

Следуя Аристотелю, стоики различают предложения и суждения. Предложения бывают вопросительными, восклицательными, выражающими просьбу или молитву. Но не со всеми ними можно связать суждение. Суждение оформляется в языке только как повествовательное предложение. Выражения «Идет дождь», «It’s raining», «Il pleut», «Det regner» представляют собой различные предложения на разных языках, но выражают одно суждение, один «лектон».

Только к суждению можно прилагать характеристики истинного или ложного. Предложение «Сейчас – день» выражает истинное суждение, будучи сформулированным днем; предложение «Колонна заканчивается острием» выражает ложное суждение. Логика стоиков двузначна, всякое суждение либо истинно, либо ложно. Однако при этом оно может менять свой истинностный статус. Так, например, предложение «Идет дождь» может выражать ложное суждение сегодня, но истинное – завтра.

Стоики делят суждения на простые и сложные. Последние образуются из простых при помощи различных грамматических союзов (и частиц). Центральное место стоики отводили условным суждениям и стремились все рассуждения облечь в форму условных суждений.

Логики стоической школы впервые обратились к вопросу об истинности сложных суждений.

Логика Аристотеля – это логика терминов и способов их связи в суждения субъектно-предикативной структуры и затем в умозаключения; здесь истинность простых суждений и правильность умозаключений обосновывалась объективными соотношениями между объемами понятий.

В понимании стоиков суждения о связи между общим и единичным или между двумя общими понятиями малопригодны. Они не отвергали структуру простых суждений, но их роль сводилась лишь к констатации данных непосредственного чувственного восприятия, фиксирующего свойства отдельных предметов. Истинность простых суждений обосновывалась путем непосредственного восприятия, а сложных – посредством отношений между истинностными значениями простых, входящих в сложные. Таким образом, стоики придерживались истинностно-функционального понимания всех известных логических связок.

То, как стоики характеризовали логические связки – отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, – соответствует современной трактовке этих связок в рамках классической логики высказываний. Именно стоики впервые систематически рассмотрели эти операции. При этом они не только характеризуют эти связки семантически, с точки зрения условий истинности, но и с точки зрения синтаксических аксиом и правил, выражающих их дедуктивные свойства.

Такая «современная» интерпретация логических связок убедила многих историков логики Стои (см., например, [Łukasiewicz, 1970; Mates, 1961; Kneale, Kneale, 1962; Bochenski, 1961]) рассматривать ее в качестве варианта современной логики высказываний и представлять конструкции стоической логики в современной системе записи. Однако некоторые исследователи предостерегают от этого (см. [O’Toole, Jennings, 2004]), показывая, что часто понятия стоиков отличны от тех, которыми пользуемся мы. Тем не менее параллели между логикой стоиков и логическими теориями XX века примечательны.

Логика высказываний

Сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения изучаются в рамках логики высказываний (пропозициональной логики). В отличие от логики предикатов простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

В естественном языке существует много способов образования сложных высказываний из простых. Обычно используются следующие общеизвестные грамматические связки (союзы): «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», выражение «неверно, что». В процессе символизации (формализации) естественного языка средствами логики высказываний простые высказывания замещаются пропозициональными переменными p, q, r, … с индексами или без них; указанные выше грамматические связки называются логическими связками (пропозициональными связками), которые получили следующие названия и обозначения:

· отрицание – аналог языкового выражения «неверно, что», «не», обозначается: ¬, ~ или чертой над отрицаемым выражением;

· конъюнкция – аналог языкового союза «и», символические обозначения: &, ∧ и точка в виде знака умножения, которая может опускаться;

· дизъюнкция (нестрогая) – аналог языкового «или», обозначается ∨;

· дизъюнкция (строгая) – аналог языкового «либо.., либо», обозначается ∨;

· импликация – аналог языкового «если.., то», обозначается с помощью знака ⊃ и различного рода стрелок;

· эквиваленция – аналог языкового «если и только если», «тогда и только тогда, когда», символическое обозначение: ≡ и различного рода стрелки в обе стороны.

При формализации используются также технические символы – правая скобка и левая скобка для того, чтобы можно было по-разному группировать высказывания и тем самым определять порядок выполнения операций. Таким образом определяется пропозициональный язык.

Правильно построенные выражения пропозиционального языка называются формулами: (1) всякая пропозициональная переменная является формулой; (2) если A и B – формулы, то ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A ∨ B, A ⊃ B, A ≡ B – формулы; (3) никакие другие выражения не являются формулами.

Из перечисленных связок отрицание является одноместной (унарной) связкой. Другие являются двухместными (бинарными). В принципе логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике любые многоместные логические связки могут быть выражены через перечисленные выше.

Семантика классической логики высказываний в своем основании имеет следующие принципы:

(1) принцип двузначности: каждое простое высказывание является или истинным, или ложным.

(2) принцип экстенсиональности: истинностное значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих его простых. Таким образом, логические связки являются знаками истинностных функций.

Однако эти принципы не являются универсальными. Они предполагают принятие достаточно сильных абстракций. Но часто при решении познавательных задач исследователь сталкивается с необходимостью выйти за рамки классической логики.

Так, например, «одной из задач науки является отличение необходимого от случайного, возможного от невозможного, но значения контекстов, содержащих термины “необходимо”, “случайно”, “возможно” и др. (эти термины называют модальностями, а соответствующие контексты – модальными), зависят не только от значений входящих в них выражений» [Бочаров, Маркин, 2008, c. 279]. То есть возникает необходимость наличия в пропозициональном языке особых связок и операторов, позволяющих работать с таким контекстами. Выразительные возможности классической логики недостаточны.

Принцип двузначности был подвергнут сомнению уже в античности. Аристотель в 9-й главе «Об истолковании» [Аристотель, 1978, с. 99–102], пытаясь опровергнуть им же изобретенный фаталистический аргумент, ставит проблему истинностного статуса высказываний о будущих случайных событиях. В XX веке Я. Лукасевич, анализируя эту аристотелевскую проблему, приходит к важному выводу, что принцип двузначности не универсален и, по крайней мере, не применим к высказываниям о будущих случайных событиях. Так в логику вводится третье истинностное значение, отличное от истины и лжи. Лукасевичем была сконструирована первая система трехзначной логики Ł3 [Łukasiewicz, 1920].

Введение в логику третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью, имело радикальные последствия для логики. В трехзначной логике мы можем конструировать новые логические связки, не существующие в двузначной логике. Лукасевич показал, что в рамках классической логики нельзя построить модальную. В Ł3 определимы модальные операторы возможности, необходимости, случайности (см. [Карпенко, 2010, с. 46]). (В разделе «Истинностные таблицы» см. табличное определение этих операторов.)

Истинностные таблицы

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний.

Возникает вопрос, какие истинностные функции соответствуют логическим связкам?

Истинностные функции удобно задавать табличным способом, где слева указываются все возможные приписывания значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа – значения самой функции. Таким образом, каждая формула логики высказываний реализует некоторую истинностную функцию, которая графически может быть представлена истинностной таблицей.

Табличный метод определения значения истинности предложений был подробно описан Л. Витгенштейном в «Логико-философском трактате». По Витгенштейну, между миром и нашим языком устанавливается особое отношение – предложения изображают действительность: «4.01. Предложение – картина действительности» [Витгенштейн, 1994, с. 19]. Таким образом, в основе нашего знания о мире – элементарные предложения, которые могут составлять сложные предложения. Вопрос об истинности сложных предложений сводится к вопросу об истинности элементарных: «5. Предложение – функция истинности элементарных предложений (Элементарное предложение – функция истинности самого себя)» [Витгенштейн, 1994, с. 35]. В разделе 4.31 «Логико-философского трактата» приводятся совместные наборы условий истинности элементарных предложений в привычном для нас табличном виде [Витгенштейн, 1994, с. 31]:

Итак, в классической логике при двух истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания p и q могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений (интерпретаций): <1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности – 1 или 0. Такие функции называют булевыми функциями. Всего таких бинарных функций (функций от двух аргументов) 16 и, соответственно, всего 4 унарные функции (функции от одного аргумента).

Приведем таблицы для отрицания (¬), конъюнкции (∧), нестрогой дизъюнкции (∨), строгой или исключающей дизъюнкции (∨), импликации (⊃) и эквиваленции (≡).

Ранее мы упоминали, что в трехзначной логике Лукасевича Ł3 определимы модальные операторы возможности (♢), необходимости (□) и случайности (∇). Они задаются следующими таблицами:

Табличный метод удобен для вычисления истинностного значения формул, соответствующих сложным высказываниям. Так, для формулы классической логики высказываний, содержащей в точности n различных пропозициональных переменных, существует в точности 2n различных интерпретаций, т.е. таблица истинности для этой формулы будет содержать 2n строк.

Ясно, что табличный метод не всегда удобен. Например, построение таблицы затруднительно для формул, содержащих пять и более различных пропозициональных переменных, а также в случае, если мы имеем дело с многозначной логикой, где число истинностных значений превышает 2.

Конъюнкция

Конъюнкция (от лат. conjunctio – союз, связь) – логическая связка, аналог языкового союза «и», служит для образования сложного высказывания из двух и более простых высказываний. Обычно для конъюнкции используют следующие обозначения: ∧, &, точка в виде знака умножения, которая может опускаться.

Современное определение конъюнкции можем найти уже у стоиков: «… сложное конъюнктивное суждение ложно в том случае, если хотя бы одно суждение, входящее в состав сложного, ложно» [Попов, Стяжкин, 1974, с. 100] (см. также [Łukasiewicz, 1970, p. 204]).

Итак, конъюнкция приписывает выражению p ∧ q значение 1 только в случае, когда как p, так и q истинны, т.е. оба имеют значение 1, в остальных случаях значение p ∧ q равно 0. Таким образом, конъюнктивное высказывание выражает мысль об одновременном наличии двух ситуаций. Так, будет истинным высказывание «Москва – столица России, и снег бел». При определении истинности конъюнктивного высказывания учитываются только истинностные значения простых высказываний, смысловая связь между ними не учитывается.

Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:

Вместо табличного задания истинностной функции ее можно задать следующим образом: p ∧ q = min (p, q), т.е. связке конъюнкции соответствует операция взятия наименьшего значения двух аргументов (при естественном упорядочении истинностных значений 0 и 1, когда 0 < 1). Таким образом, это более удобный способ определения связки конъюнкции в многозначных логиках, где более двух истинностных значений.

В естественном языке формулировка конъюнктивных высказываний обычно осуществляется с помощью союза «и». Однако стоит учитывать, что не любое употребление союза «и» выражает указанный смысл связки «∧». Например, в сложном высказывании «Человек бросил камень, и окно разбилось», союз «и» выражает мысль не об одновременном наличии двух ситуаций, а о последовательной смене этих ситуаций во времени. Здесь употреблена такая конъюнкция, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. Употребляя в формализованных языках «∧», мы отвлекаемся от порядка событий в действительности, что правомерно лишь в тех случаях, когда в самой действительности последовательность не является существенной. Конъюнкция в таком случае обладает свойством коммутативности, то есть «p ∧ q» эквивалентно «q ∧ p».

Смысл конъюнкции в естественном языке в некоторых случаях может выражаться и с помощью других союзов: «а», «но», «как…, так и», «а также» и др., кроме того, в конъюнктивных высказываниях соединительные союзы могут быть опущены, а вместо них использованы запятая или точка с запятой. В книге С. Клини дан (неисчерпывающий) список выражений, которые могут быть заменены при переводе с естественного языка символом конъюнкции [Клини, 1973, с. 81]:

Дизъюнкция

Дизъюнкция (лат. disjunctio – разобщение, разделение, различие) – логическая связка, аналог языкового союза «или», с помощью которой из двух и более высказываний строится новое сложное высказывание.

Различают строгую (исключающую) и нестрогую дизъюнкцию. Такое разделение отмечается исследователями уже у стоиков [Попов, Стяжкин, 1974, с. 100; Łukasiewicz, 1970, p. 204; Bonevac, Dever, 2018].

Нестрогая дизъюнкция p ∨ q ложна только в одном случае, когда ложны как p, так и q. Дизъюнктивное высказывание выражает мысль о наличии по крайней мере одного из двух положений дел – описываемого в p или описываемого в q, при этом не исключается случай их одновременного наличия.

В некоторых случаях употребление союза «или» в естественном языке имеет иной смысл. Так, например, в высказывании «Я поеду на юг на поезде или полечу туда на самолете» выражается мысль о наличии ровно одной из двух ситуаций, т.е. утверждается их альтернативность. В этом случае союзу «или» будет соответствовать иная логическая связка, которая называется строгой (или исключающей) дизъюнкцией. Для нее обычно используют символы «∨» или $$  В естественном языке для выражения такого положения дел часто используется союз «либо.., либо».

Таблицы истинности для нестрогой и строгой дизъюнкции следующие:

Вместо табличного задания истинностной функции нестрогой дизъюнкции ее можно задать следующим образом: p ∨ q = max (p, q), т.е. связке нестрогой дизъюнкции соответствует операция взятия набольшего значения двух аргументов (при естественном упорядочении истинностных значений 0 и 1, когда 0 < 1).

По смыслу ясно, что для дизъюнкции (и строгой, и нестрогой) высказывание «p ∨ q» эквивалентно «q ∨ p», т.е. дизъюнкция обладает свойством коммутативности.

Импликация

Импликация (от лат. implication – сплетение, от implico – тесно связываю) – логическая связка, соответствующая грамматической конструкции «если…, то», с помощью которой из двух высказываний образуется сложное высказывание вида «если p, то q». Обычно импликация обозначается с помощью знака «⊃» или различного рода стрелок. В импликативном высказывании выделяют антецедент (первая часть импликативного высказывания после слова «если») и консеквент (вторая часть импликативного высказывания после слова «то»).

В древние времена много спорили о том, как трактовать импликативное выражение «если p, то q», в частности в мегарской школе [Попов, Стяжкин, 1974, с. 24–26]. Дискуссия, вероятно, была начата Филоном из Мегары, он первый дал функционально истинностную характеристику импликации. В современной логике его определение получило название «материальной» импликации. Как свидетельствует Секст Эмпирик, «Филон учил, что истинная связь бывает тогда, когда антецедент не истинный или когда консеквент верен, так что, согласно его мнению, истинная связь получается тремя способами, а ложная – только одним» [Стяжкин, 1967, с. 68]. Позже такого же взгляда на условные суждения придерживались и стоики.

В современной логике изучают большое количество импликаций, различающихся по своим формальным свойствам (материальная, строгая, релевантная, интуиционисткая и др.).

Условия истинности для материальной импликации формулируются следующим образом: импликация p ⊃ q является ложной (принимает значение 0) только при истинном (антецеденте) p и ложном (консеквенте) q. В остальных случаях p ⊃ q принимает значение 1.

В естественном языке имеются многообразные аналоги для «⊃». Основная знаковая форма, соответствующая высказыванию «p ⊃ q» в естественном языке: «если p, то q». Надо учитывать, что в естественных языках союз «если.., то» может употребляться в разных смыслах: для выражения причинной зависимости («если река замерзла, то был мороз»), для выражения временной последовательности событий («если сегодня пятница, то завтра суббота»), для выражения связи цели и средства («если не хочешь ошибиться, то будь внимателен») и т.д., в каждом из которых «если…, то» имеет свою специфику. Однако мы отвлекаемся от того, какова зависимость q от p, и придаем союзу «если.., то» только тот смысл, который выражен в таблице истинности:

Также в естественном языке связке материальной импликации соответствуют выражения: «коль скоро p, то q», «q, если p», «p достаточно для q» (в том смысле, что истинность p достаточна для истинности q), «q необходимо для p» (в том смысле, что истинность q необходима для истинности p). С. Клини приводит примеры, какими способами может быть выражена импликация в естественном языке [Клини, 1973, с. 81]:

Все указанные случаи надо отличать от тех, когда словосочетание «если.., то…» употребляется вместо союза «и» в совокупности с некоторым противопоставлением. Например: «Если подснежники цветут в марте – апреле, то ландыши – в мае – июне».

В нашем привычном употреблении условное высказывание «если p, то q» предполагает некую реальную связь между тем, о чем говорится в p и q. Выражение «p ⊃ q» такой связи не предполагает. Так, например, истинными будут считаться высказывания:

«Если число 6 делится на 3, то Токио – большой город»,

«Если Волга – озеро, то дважды два равно четыре»,

«Если на Солнце живут люди, то дважды два равно пять».

В обычном рассуждении вряд ли подобные высказывания будут считаться осмысленными и тем более истинными. Такое несоответствие нашей интуиции об истинности условного высказывания с табличным определением материальной импликации называют парадоксами материальной импликации.

В данном случае истинностно-функциональная трактовка условной связи приводит к несоответствию с тем, как она понимается в естественном языке, и импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая ее тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь по содержанию. Поэтому для рассуждений, где присутствует обоснование одного путем ссылки на нечто другое, материальная импликация не может служить аналогом.

При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, например, математических, когда при этом не забывают о ее специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики, например, релевантные, в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются с учетом возможного содержания или смысла предложений, и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также другие логические связки.

Понятие импликации тесно связано с понятием логического следования.

Эквиваленция

Эквиваленция (от лат. aequalis – равный и valentis – имеющий силу; равносильность) – логическая связка, позволяющая из двух высказываний p и q получить новое сложное высказывание вида p ≡ q, в котором утверждается, что положения дел, описанные в p и q, либо одновременно имеют место, либо одновременно отсутствуют. Таким образом, высказывание p ≡ q истинно, когда p и q одновременно истинны или одновременно ложны, т.е. когда их значения совпадают:

В естественном языке связке эквивалентности соответствуют по смыслу выражения «если и только если», «тогда и только тогда, когда», «в том и только том случае, когда», «необходимо и достаточно». У С. Клини мы находим следующие выражения, соответствующие эквивалентности [Клини, 1973, с. 81]:

Высказывание «p, если и только и если q» эквивалентно конъюнкции двух импликативных высказываний «если p, то q» и «если q, то p».

Так же как и в импликативных высказываниях, в высказываниях вида p ≡ q отсутствует смысловая связь между высказываниями p и q, а предполагается отношение между p и q только по истинностным значениям.

Отрицание

Отрицание – логическая связка, аналог языкового выражения «неверно, что», «не» и обозначается: ¬, ~ или чертой над отрицаемым выражением.

Так, при двух имеющих место в классической логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) отрицание определяется следующей таблицей:

В классической логике истинностная функция отрицания меняет значение высказывания на противоположное: когда p – истинно, ¬p – ложно, и наоборот. Таким образом, отрицание формирует смысловую оппозицию между p и ¬p в том смысле, что имеет место по крайней мере одна ситуация (p) или вторая (¬p), но не обе вместе. Отсюда получаем два свойства отрицания:

(1) по крайней мере одна ситуация p или ¬p должна иметь место. Именно это выражает формула p ∨¬p, известная как закон исключенного третьего;

(2) несовместимость того, чтобы одновременно имеет место и ситуация p, и ситуация ¬p выражается формулой ¬(p ∧ ¬p), известной как закон непротиворечия.

Таким образом, на уровне классической логики ситуацию противоречия, когда p и ¬p вместе истинными быть не могут, но не могут быть оба и ложными, адекватно описывает только одна из четырех возможных в этой логике унарных функций – вышеприведенная функция отрицания.

Но если отказаться от принципа двузначности и перейти, например, к трехзначной логике, у нас появится возможность по-разному обобщать свойства отрицания. Появляется возможность определить такое отрицание, которое не формирует противоречие в указанном выше смысле, то есть p и ¬p могут быть одновременно истинными, и тогда в такой логике не имеет места закон непротиворечия. Так, например, определяется отрицание в т.н. паранепротиворечивых логиках, позволяющих формализовать рассуждения в условиях противоречивой информации. Можно также определить такое отрицание, что p и ¬p могут быть одновременно ложными, и в такой логике не имеет места закон исключенного третьего. И таким образом определяется отрицание в т.н. параполных логиках, позволяющих формализовать рассуждения в условиях неполной информации (о паралогиках см. [Карпенко, Томова, 2016]).

Обратим внимание, что отрицание можно задать не только с помощью таблицы истинности, но и как процедуру вычисления некоторой операции. И это играет существенную роль при рассмотрении систем многозначных логик (более подробно см. [Карпенко, 2010, с. 179]). Так, связке отрицания соответствует операция вычитания значения аргумента из единицы: ~x = n-1-x, где x соответствует истинностному значению пропозициональной переменной, а n – число истинностных значений в логике. Это определение т.н. «зеркального отрицания». Другой вариант: ¬x = (x+1)mod n, – представляет собой обобщение отрицания в смысле «циклического сдвига значений» (отрицание Поста). Ji(x)-операторы также обобщают некоторые свойства отрицания:

Ji(x) = $\left\{\begin{array}{c}n-1\text{,еслиx=i,}\\ 0\text{,еслиx}\ne i\text{.}\end{array}\right\}$

В случае двузначной логики не важно, какую операцию вычисления мы используем, любая задает отрицание, определяемое вышеприведенной таблицей истинности.